Svahy egyptských pyramid

Původní článek: https://sites.math.washington.edu/~greenber/pyressay.html

Velká pyramida v Gíze, známá také jako Chufuova pyramida, po staletí fascinovala a byla předmětem mnoha spekulací. Jak byla postavena? Kým byla postavena? Kolik je jí let? Jaký význam mají její rozměry, tvar a orientace ve vztahu k ostatním pyramidám v Gíze? Jaký byl její účel? Tato a další témata jsou diskutována v mnoha knihách a na řadě webových stránek. (Zde najdete sbírku odkazů a odkazů, které se liší od seriózních studií až po poněkud absurdní, ale imaginativní fantazie). V této literatuře lze zejména nalézt rozsáhlé údaje o rozměrech Velké pyramidy a jejích různých komor a chodeb, jakož i všechny významné úhly v této struktuře. Kupodivu se najde mnohem méně spekulací a také méně údajů o dalších velkých pyramidách v Egyptě. Řada z těchto dalších pyramid stále stojí: Džoserova Stupňovitá Pyramida v Sakkaře, Ohnutá Pyramida a Červená Pyramida Sneferu v Dahšúru a pyramidy Khafre a Menkaure v Gíze. Kromě Džoserovy stupňovité pyramidy byly tyto pyramidy stejně jako Chufuova pyramida všechny postaveny během 4. dynastie v období pouhého jednoho století. Všechny mají tvar skutečné pyramidy, ale detaily jejich konstrukce se poněkud liší. Dokonce i sklony jejich tváří se liší. A to je téma této stránky.

Otázky a spekulace o podobě Velké Chufuovy pyramidy jsem si poprvé uvědomil při čtení knihy A. Pochana Záhady Velké pyramidy. Najdeme zde dlouhou diskuzi o vztahu sklonu stěn pyramidy k číslu pi a další slavný vztah zahrnující číslo phi. Pochan také zmiňuje skutečnost, že sklon každé stěny pyramidy je velmi blízký 14/11 a že sklon každé hrany je velmi blízký 9/10. Uvědomuje si, že takové vztahy mohou být náhodné a nepovažuje za samozřejmé (jak se zdají někteří jiní autoři), že tyto vztahy odrážejí skutečné záměry architekta (architektů), kteří se podíleli na návrhu a stavbě Velké pyramidy. Jakýkoli z těchto vztahů by určoval tvar pyramidy (za předpokladu, že základna je čtvercová a stěny jsou rovnoramenné trojúhelníky). Pokud se tedy architekt rozhodl navrhnout pyramidu na základě vztahu zahrnujícího pi (například), pak by vztahy zahrnující phi nebo 9/10 nebo 14/11 byly také zobrazeny výslednou pyramidou s vysokou úrovní přesnosti. Bylo by tomu tak bez ohledu na to, zda architekt měl nebo neměl zájem o tyto další vztahy nebo o nich věděl.

Když jsem poprvé četl Pochanovu diskuzi o různých poměrech, byl jsem přesvědčen, že ten, který zahrnuje 9/10 (jako sklon hran), je nejpřesvědčivější z následujícího důvodu. Jedním z mnoha výzev, kterým stavitelé pyramid čelili, bylo vytvoření struktury, která by se plynule a přesně zvedala až k vrcholu. Síla pyramidy spočívá ve výraznosti jejích hran. Pro stavitele bylo nesmírně důležité, aby tyto hrany byly co nejpřesnější a nejrovnější. Logické tedy bylo při stavbě každé vrstvy nejprve precizně umístit rohové bloky a teprve poté zaplnit zbývající vnější prostory této vrstvy. Pokud je sklon hran zvolen jako jednoduché racionální číslo, usnadnilo by to určení správné polohy těchto rohových bloků.

Pochan však také pojednává o cvičeních v Rhindově papyru, která se týkají výpočtů zahrnujících „seked“ pyramidy. Tam se dozvídáme, že Egypťané představovali sesed (což je jen převrácená hodnota sklonu každé tváře) jako určitý počet dlaní a prstů vodorovné vzdálenosti na loket vertikální vzdálenosti. Tato dokumentace musí být považována za významnou stopu. Zdá se, že vztah zahrnující 14/11 (jako sklon tváří) je docela přesvědčivý, protože to odpovídá poměrně jednoduché hodnotě pro sekeda: pět dlaní, dva prsty na loket. Navíc, jak poukazuje Pochan, stěny hotové pyramidy by byly hladké (jako je stále vidět v horní části Rachefovy pyramidy). K dosažení tohoto efektu by bylo nutné, aby řemeslníci přesným způsobem řezali mnoho vnějších bloků. Tyto bloky by musely být oříznuty, aby měly stejný sklon jako plochy.

Zdá se, že většina učenců, kteří se touto problematikou zabývali, věří teorii, kterou naznačují cvičení v Rhindově papyru. To znamená, že architekti, kteří navrhli pyramidy, zvolili šikmý úhel čel právě tím, že specifikovali seed na pět dlaní + 0, 1, 2 nebo 3 prsty na loket. Například článek Mathematical Bases of Ancient Egyptian Architecture and Graphic Art od G. Robinse a C. Shutea (Historia Mathematica, květen, 1985) věnuje několik stránek argumentům ve prospěch této teorie. Je to silně podpořeno měřením mnoha pyramid, které stále stojí, ale ne všech. Když jsem zkoumal sklony hran různých pyramid, byl jsem přiveden k jiné teorii: Architekti navrhující pyramidy si možná vybrali sklon každé hrany jako jednoduché racionální číslo. Ukázalo se, že jsem nebyl první, kdo to navrhl. Později jsem se dozvěděl, že podobný nápad již dříve (asi kolem roku 1960) navrhl egyptolog Jean-Phillipe Lauer.

Abych to vyjádřil přesněji, moje teorie (kterou jsem si vytvořil) spočívá v tom, že architekti navrhovali své pyramidové konstrukce tak, aby inverzní sklon hran byl racionálním číslem ve tvaru 1+1/n pro určitou hodnotu n. To má dva zřejmé důvody, které podrobněji vysvětlím níže: (1) Taková čísla je možné vyjádřit pomocí egyptského způsobu zápisu čísel velmi jednoduše. (2) Zkušenosti ze stavby Lomené pyramidy mohly vést architekty k rozhodnutí zvolit pro inverzní sklon každé hrany číslo větší než 1. Tuto mou teorii navíc výrazně podporují měření provedená na existujících pyramidách.

Dospěl jsem k přesvědčení, že obě tyto paralelní teorie jsou částečně správné. Představují dva přístupy k výběru tvaru pyramid a oba mohly být použity. Pro každý pyramidový projekt mohli architekti specifikovat inverzní sklon ploch nebo hran a poté vypočítali, jaký musí být druhý inverzní sklon. Vzhledem k tomu, že tyto dva přístupy zahrnují různé způsoby specifikace inverzního sklonu, mohly hrát v konstrukci odlišnou roli. Lze si například představit, že stavitelé používají inverzní sklon hran k vytvoření rohových částí pyramidy (možná mnoha chodů najednou) s přesností. K tomu by bylo také nutné mít přesně určené diagonální čáry pro pyramidu. Zbývající bloky pro tyto vrstvy by pak mohly být vyplněny. Inverzní sklon čel (tj. seked) by pak mohl být použit pro tento účel a také pro konečné vyhlazení vnějšího povrchu. Tento poslední krok by zahrnoval přesné řezání bloků pláště.

Zaměřím se na každou teorii založenou na údajích z knihy "Kompletní průvodce pyramidami" od Marka Lehnera, přičemž se budu věnovat pyramidám postaveným během 4. dynastie. Konstrukční aspekty těchto pyramid jsou rozmanité, a to se zdá platit i pro volbu sklonů jejich stěn. Alespoň jedna ze dvou teorií dobře koreluje s daty pro každou z těchto pyramid, což může odrážet záměry jejich stavitelů. V případě Velké pyramidy Chufua se obě teorie shodují s empirickými údaji. To znamená, že seked (sklon) pyramidy odpovídá přibližně pěti palmám a dvěma prstům, a inverzní sklon jejích hran je blízký hodnotě 1+1/9, a to s vysokou mírou přesnosti. Je to velmi lákavé si myslet, že architekt pyramidy byl plně vědom toho, že jeden z těchto poměrů implikuje ten druhý, což mohlo činit volbu sekedu "pět dlaní, dva prsty" pro Velkou pyramidu zvláště přitažlivou. Nicméně, nevidím žádný přesvědčivý důvod se domnívat, že by si architekt byl vědom vztahů zahrnujících pi a phi. Tyto vztahy zkoumám ve své eseji "Pi a Velká pyramida".

Lehnerova kniha poskytuje údaje o šikmém úhlu stěn různých pyramid, stejně jako o výšce a délkách jejich stran. Pak je poměrně jednoduché spočítat úhel sklonu hran a odpovídající přímý nebo inverzní sklon. Následující tabulka tyto informace shrnuje. V případě Lomené pyramidy jsou uvedeny dvě hodnoty, které odpovídají její dolní a horní části. Dvojí údaje u pyramidy Menkaureova jsou způsobeny tím, že její základna není přesně čtvercová.  
 

V dochovaných egyptských matematických papyrech (jako je Rhindův papyrus) se člověk dozví řadu věcí o egyptské matematice. Jedna pozoruhodná věc je, že jejich zápis čísel je zcela odlišný od moderního zápisu. Jediná čísla, která člověk najde, jsou racionální čísla a téměř vždy jsou vyjádřena jako celé číslo plus součet jednotkových zlomků s odlišnými jmenovateli (tj. zlomky s čitatelem rovným 1). Například racionální číslo 3/5 by bylo vyjádřeno jako 1/3 + 1/5 + 1/15. V Rhindově papyru najdeme tabulku pro dělení 2 všemi lichými čísly od 3 do 101. Odpovědi jsou vždy uvedeny v jednotkových zlomcích. Například odpověď pro 2 děleno 5 je dána jako 1/3 + 1/15 a 2 dělená 13 je dána jako 1/8 + 1/52 + 1/104. (Tyto výrazy by byly samozřejmě napsány spíše egyptskými znaky než arabskými číslicemi jako zde.) Číslo jako 10/9 (což je velmi dobrá aproximace inverzního sklonu okrajů Velké pyramidy) by bylo vyjádřeno docela prostě jako 1 + 1/9. 11/9 by však mělo složitější výraz: 1 + 1/6 + 1/18. Číslo 11/14 (což je přibližný inverzní sklon stěn Velké pyramidy) by bylo zapsáno jako 1/2 + 1/4 + 1/28. Pokud by architekt chtěl zvolit číslo větší než 1, ale stále blízké 1, bylo by číslo ve tvaru 1+1/n zcela přirozené.

Nyní k různým pyramidám.

ZAOHNUTÁ PYRAMIDA: Čely spodní části této pyramidy svírají úhel 54º27'44" od vodorovné roviny. Ale stěny horní části svírají mnohem menší úhel 43º22'. Inverzní sklon plochy pro spodní část jsou 0,714288. Pro horní část přeskočí inverzní sklon na 1,058703. Když vypočítáte inverzní sklon pro okraje, najdeme 1,010156 pro spodní část a 1,497233 pro horní část. Tato čísla mohou naznačovat že záměr architekta byl následující: Inverzní sklon každé hrany spodní části měl být 1. To odpovídá úhlu 45º pro každou hranu. Co by mohlo být jednodušší? Ale pak, z nějakého důvodu, inverzní sklon hran horní části byl zvýšen na 3/2 (tj. 1+1/2).

Byl jsem opravdu nadšen, když jsem zjistil, že okraje Lomené pyramidy mají tak jednoduchý sklon – poznatek, který už před asi 40 lety poznamenal JP. Lauer. Určitě by stálo za to provést preciznější měření Lomené pyramidy s využitím moderních technologií. Já jsem se opíral o údaje z knihy Marka Lehnera. Podle těchto dat je inverzní sklon okrajů dolní části pyramidy o něco vyšší než 1, avšak s odchylkou přibližně 1%. Nicméně, další zdroje, které jsem prozkoumal, uvádějí mírně odlišný úhel sklonu stěn dolní části, a tedy i okrajů. Podle jedné reference se úhel pro okraje jeví ještě blíže k 45°, ale stále je menší. Jiný zdroj naopak naznačuje, že tento úhel je mírně větší než 45°. Tyto údaje navíc představují pouze průměrný sklon. Sklon okrajů jistě není ve skutečnosti konstantní, a proto by měření jejich variace mohlo poskytnout zajímavé informace. Bohužel stav Lomené pyramidy by provádění takového měření komplikoval.

Dalším zřejmým problémem je, že není jasné, jaké úrovně přesnosti by se dalo očekávat od egyptských stavitelů. Tato úroveň přesnosti by se během století stavby pyramid nepochybně zlepšila. Dalo by se předpokládat, že stavitelé vyrobí nějaké jednoduché zařízení, aby rovnoměrně dosáhli požadovaného sklonu buď pro hrany, nebo pro líc. Takové zařízení navrhuje Peter Hodges ve své knize “Jak byly pyramidy postaveny”. Zařízení je středně velký pravoúhlý trojúhelník vyrobený ze dřeva - něco, co by mohl držet jeden nebo dva dělníci. Přepona by měla mít požadovaný sklon vzhledem k horizontále, pokud je jedna ze dvou ramen pravoúhlého trojúhelníku držena dokonale svisle. Zařízení má k této noze připojenou olovnici, takže dělníci mohli poznat, kdy je vertikální. Hodgesův návrh se zdá docela důvěryhodný, protože je známo, že Egypťané používali olovnice. Takové zařízení by umožnilo udržovat pevný sklon, i když by se výšky bloků používaných pro různá hřiště mohly značně lišit. (U Velké pyramidy existují značné rozdíly kurz od kurzu.)

Abychom získali seed spodní části Lomené pyramidy, je třeba vynásobit inverzní sklon, který je uveden v předchozí tabulce, číslem sedm. Výsledek je téměř přesně 5. To znamená, že podle Lehnerových údajů má spodní část seed pět dlaní (na loket). To je skutečně velmi silná podpora konvenční teorie. To naznačuje, že skutečnost, že každá hrana má sklon (nebo inverzní sklon) přibližně rovný 1, je jen náhoda, jak se zdá, pěkné. Horní část však není v souladu s konvenční teorií. Seked horní části nelze jednoduše vyjádřit dlaněmi a prsty. A tak si lze představit, že architekt přešel z volby 5/7 (pět dlaní/loket) pro inverzní sklon každé plochy pro spodní část k alternativní metodě volby jednoduchého inverzního sklonu pro okraje horní části. porce, a to 1+1/2. Na základě údajů z Lehnerovy knihy se to ukazuje jako poměrně přesné. Inverzní sklon se liší od 1+1/2 asi o 0,2%.

Existují také teorie o tom, proč má Ohnutá pyramida svůj zvláštní tvar. Jednu věrohodnou teorii navrhl Kurt Mendelssohn ve své vynikající knize “Záhada pyramid”. Naznačuje to, že v době, kdy se stavěla Lomená pyramida, už byla další pyramida ve výstavbě – ta v Meidum, která mohla mít také dosti strmý svah – zhroutila. Z tohoto důvodu nebo možná z jednoho z několika dalších důvodů, které byly navrženy, se architekt rozhodl drasticky snížit sklon pyramidy. Toho lze dosáhnout tak, že zvýšíte inverzní sklon každé hrany z hodnoty 1 na 1+1/2. Všechny pyramidy 4. dynastie, postavené později, jsou méně prudké než dolní část Lomené pyramidy. Jejich hrany tedy mají inverzní sklon větší než 1.

ČERVENÁ PYRAMIDA: Úhel sklonu stěn je jen 43 stupňů a 22 minut. To odpovídá nastavení inverzního sklonu hran na hodnotu 1,497253, což je totožné s hodnotou u horní části Lomené pyramidy. Inverzní sklon hran by tak byl velmi blízký hodnotě 1+1/2. Trojúhelníkové měřicí přístroje, jaké navrhl Hodges, by se pak daly s vysokou přesností snadno vytvořit právě pro tuto hodnotu inverzního sklonu. Jak bylo zmíněno výše u Lomené pyramidy, seked pro tuto pyramidu nemá jednoduché vyjádření v palcích a prstech (na loket).

VELKÁ PYRAMIDA KHUFU: Jak již bylo zmíněno, inverzní sklon každé hrany je extrémně blízký 1+1/9. Ale seked této pyramidy je také docela jednoduchý. Je to pět dlaní, dva prsty/loket. To znamená, že inverzní sklon každé plochy je extrémně blízký 5,5/7=11/14. Obě teorie se zdají být platné pro Velkou pyramidu. Domnívám se, že architekt si toho byl plně vědom a zvolil sekedu jako pět dlaní, dva prsty s vědomím, že převrácený sklon hran by se také ukázal být docela jednoduchý. (Nebo to bylo možná naopak).

CHAFREOVA PYRAMIDA: Úhel, který svírá každá strana této pyramidy se základnou, je 53º 10'. Inverzní sklon každé hrany se ukáže jako 1,059250. Toto číslo je přibližně 1+1/17 (přesnost asi 0,04%). Inverzní sklon každé strany této pyramidy je přibližně 3/4. Seked je 5 dlaní, jeden prst/loket. Ale na základě Lehnerových údajů není přesnost zdaleka tak dobrá jako u Velké pyramidy. (Je to s přesností asi 0,13%)

PYRAMIDA V MENKAURE: Toto je poslední a nejmenší ze tří velkých pyramid v Gíze. Je zajímavé poznamenat, že podle Lehnerovy knihy není základna této pyramidy čtverec. Je obdélníkový a v délkách nejdelší a nejkratší strany je více než dvoumetrový rozdíl. Nejprve, když jsem vypočítal inverzní sklon každé hrany, ukázalo se, že se přibližně rovná 1+1/8, ale ne s vysokou přesností. Předpokládal jsem však, že základna je čtverec. Když jsem se dozvěděl, že základna není čtverec, znovu jsem vypočítal inverzní sklon každé hrany a zjistil jsem, že je skutečně velmi blízko 1+1/8. Tato pyramida tedy poskytuje povzbudivou podporu mé teorii. Protože základna není čtverec, šikmé úhly ploch nejsou stejné. Jeden pár stěn má inverzní sklon velmi blízký sklonu stěn velké Chufuovy pyramidy. To znamená, že sesed by se blížil pěti dlaním, dvěma prstům/loket. Ale druhý pár tváří má sesed, který nelze vyjádřit jednoduše dlaněmi a prsty.

COPYRIGHT © 2000 RALPH GREENBERG

Velká pyramida v Gíze